A megalakulása óta számos személyi változáson átment zenekar alapító tagjai már korábban is zenéltek, főként country és blues műfajban. Egy ír-skót zenét játszó folkegyüttes gondolata 1987-ben született Turáni Csongor által.

A második tag Turzó Sándor lett, őt követte Pálvölgyi Ádám, a későbbi zenekarvezető és menedzser. 1988-ban kellő összegyakorlás nélkül elvállaltak egy szalagavató bálon egy ír és skót zenei koncertet, ami a főpróbán annyira rosszul sikerült, hogy az iskola visszamondta a fellépést. A zenekar vezetője, Pálvölgyi Ádám ekkor találta ki a „Meg nem Értett Zenekar” elnevezést, humorosan utalva az eleinte szintén meg nem értett Mozartra.
 

Pár hónapig trióban játszottak, majd felvették Kuklis Henrik ütőst, aki 1989-től az éneklést is részben átvette. 1989 és 1993 között Kaczur Csilla és Tom Chilton is tagja volt az együttesnek. Eleinte kisebb klubokban léptek fel, de 1993-ban már a Jethro Tull előzenekaraként játszottak. Egyéni hangzásukat ekkoriban alakították ki, az ír és skót balladákat és vidám kocsmadalokat világzenei és magyar népzenei elemekkel vegyítették.

2011-től ismét az alapító tagok, Turáni Csongor, Turzó Sándor, Pálvölgyi Ádám és Kuklis Henrik közreműködésével lépett fel a M.É.Z. Turáni Csongort visszavonulása után Varga „Cédrus” Attila, majd 2016-tól Párniczky Ede követte.